Dvojrozmerné geometrické transformácie

Posunutie

    Posunutie je premiestnenie objektu z jednej pozície do druhej. Transformácia posunutia je určená vektorom posunutia p = (X´-X, Y´-Y), kde (X, Y) sú súradnice objektu v prvej pozícii a  (X´, Y´) sú súradnice objektu v druhej.

    Transformačná matica posunutia je :

      |  1  0  0 |
  A = |  0  1  0 |
      | tx ty  0 |

$$$APPLET

Applet Posunutie, vpravo hore je príslušná transformačná matica

Otočenie

    Transformácia objektu okolo pevného bodu po kruhovej dráhe sa nazýva otočenie. Je určené uhlom otočenia a stredom otočenia.

$$$APPLET

Applet Otočenie o uhol (v radiánoch), vpravo hore je príslušná transformačná matica

    Otočením  bodu P[x, y] okolo stredu súradnicovej sústavy O=[0, 0] o uhol alfa dostaneme nový bod zo súradnicami

    x´=  x*cos(alfa) - y*sin(alfa)
    y´=  x*sin(alfa) + y*cos(alfa)

Matica transformácie otočenia je

     | cos(alfa) sin(alfa) 0 |
Ao = |-sin(alfa) cos(alfa) 0 |
     |    0          0     1 |

Zmena mierky

    Zmenou mierky dochádza k zmene veľkosti objektu v smeroch súradnicových osí. Ak koeficient pomeru novej dĺžky ku starej, v smere niektorej osi  je väčší ako 1, objekt sa predĺžil, ak menšie ako 1 tak objekt sa skrátil.

        Rovnica pre zmenu mierky bodu P [x, y] je >/p>

    x´ = Sx * x
    y´ = Sy * y

    Transformačná matica zmeny mierky je

      | Sx  0  0 |
 As = |  0 Sy  0 |
      |  0  0  1 |

$$$APPLET

Applet Zmena mierky, interakcia v pravej časti umožňuje zmeniť mierku daného objektu, plus v rohu príslušná transformačná matica

Súmernosť

    Súmernosť alebo symetria je špeciálnym prípadom zmeny mierky, kde koeficienty Sx a Sy nadobúdajú hodnoty 1 alebo -1.

  Sx
Sy
  súmernosť podľa osi x
1
-1
  súmernosť podľa osi y
-1
1
  stredová súmernosť
-1
-1

$$$APPLET

Applet Súmernosť poďľa osi y

Skosenie

    Skosenie  môžeme robiť v smere x alebo y, pričom druhá súradnica zostáva nezmenená.

    Transformačná matica skosenia je

        |  1 Sy  0 |
 Asxy = | Sx  1  0 |
        |  0  0  1 |


$$$APPLET

Skosenie, podľa osi x zvoľ bod na osi x,
podľa osi y zvoľ bod na osi y
a pre kombinované vyber bod, pre ktorý x<>0 a y <>0.

Skladanie transformácií

    Pri skladaní transformácií je dôležité zachovávať správnu postupnosť v akom budeme transformácie vykonávať. Transformáciu vzniknutú skladaním jednotlivých transformácií môžeme vyjadriť jednou maticou a to tak, že postupne vynásobíme matice reprezentujúce jednotlivé dielčie transformácie.