mapa stránky tlačiť stránku slovensky | english

• Úvodná stránka
• Testy
• Java applety
• CG na webe
• O autoroch
• Kontakt

Kružnica a elipsa

    Kružnica a elipsa sú základné grafické výstupné prvky.

    Kružnicu so stredom v bode [x_c, y_c] a polomerom r môžeme vyjadriť 

analyticky : r² = (x-x_c)² + (y-y_c)²,

implicitne : (x-x_c)²+ (y-y_c) ²-r² = 0.

parametricky :

x = x_c + r * cos(alfa)
y = y_c + r * sin(alfa),

pre alfa∈ <0, 2p>.

Osovú elipsu (osi sú rovnobežné so súradnicovými osami) so stredom v bode [x_c, x_c] vyjadrujeme

parametricky:
x = x_c + a * cos(alfa)
y = y_c + b * sin(alfa),    pre alfa ∈ <0, 2p> a a,b sú hlavná a vedľajšia poloos.

implicitne:
    (x - x_c)²       (y - y_c)²
 ------------ + ------------ -1 = 0.
        a²                b²

Rastrový rozklad kružnice

Vieme, že kružnica sa dá rozdeliť na 360 stupňov. Pri pohľade na kružnicu môžeme vidieť, že kružnica je symetrická vzhľadom na os x, os y a aj osi kvadrantov (funkcie x=y a x=-y). Pre kružnicu so stredom v začiatku súradnicovej sústave platí, že ak bod (x, y) je bodom kružnice, potom aj (y, x), (y, -x), (x, -y), (-x, -y), (-y, -x), (-y, x) a (-x, y) sú body kružnice. Preto nám na určenie všetkých bodov kružnice stačí vypočítať len 1/8 oblúka kružnice, tj. oblúk v rozsahu 0 až 45°. Bresenhamov algoritmus na rasterizáciu kružnice so stredom v bode S=(Stred_X, Stred_Y) počíta pozíciu bodov kružnice na tomto úseku. Každý vypočítaný pixel potom vykresľuje pre  každý oktant rastrovej roviny :

PutPixel(Stred_X + X, Stred_Y + Y)
PutPixel(Stred_X + X, Stred_Y - Y)
PutPixel(Stred_X - X, Stred_Y + Y)
PutPixel(Stred_X - X, Stred_Y - Y)
PutPixel(Stred_X + Y, Stred_Y + X)
PutPixel(Stred_X + Y, Stred_Y - X)
PutPixel(Stred_X - Y, Stred_Y + X)
PutPixel(Stred_X - Y, Stred_Y - X).

$$$APPLET

Applet Zvoľ (myšou) jeden bod kružnice.

Applet : Kreslenie kružnice, 8 symetrických bodov

//Bresenhamov algoritmus na rasterizáciu kružnice : public void</b> kruznica(int xi, int yi, int xf, int yf) // stred kružnice xi,yi a bod kružnice xf,yf { // vypočítaj polomer kružnice int polomer=(int)(Math.sqrt((xf-xi)*(xf-xi)+(yf-yi)*(yf-yi))); int d1 = 3 - (2 * polomer); int x = 0,i1=x1,i2=x2; int y = polomer; boolean rov=true; // tj. pre jednu osminu, pokiaľ x sa nebude >= y while (rov) { if> (x>=y){rov=false;} if (d1 < 0)  { d1 = d1 + (4 * x) + 6; } <b>else</b> { d1 = d1 + 4 * (x - y) + 10; //<a name="4*"></a> (1) y = y - 1; } // zobraz nasledujúce body kružnice setpix((x1+x),(y1+y)); setpix((x1+x),(y1-y)); setpix((x1-x),(y1+y)); setpix((x1-x),(y1-y)); setpix((x1+y),(y1+x)); setpix((x1+y),(y1-x)); setpix((x1-y),(y1+x)); setpix((x1-y),(y1-x)); x++; } }

Hodnoty, ktoré  pripočítavame (x a y,vid. zdrojový kód) sa neustále menia, a preto ich nemôžeme predvypočítať. Jediné urýchlenie algoritmu môžeme použiť pri násobení 4. Hodnotu (x-y) môžeme pri bitovom zápise "shiftovať" dvakrát doľava. 

$$$APPLET

Applet Nakresli kružnicu s danou veľkosťou rastra

    Iná metóda na zostrojenie kružnice je využitie transformácie otáčaním. Takto otáčaním jedného bodu okolo stredu kružnice vygenerujeme potrebný počet bodov a tie spojíme úsečkami.

Algoritmus transformácie otáčaním :

int stredx=polx; int stredy=poly; // stred kružnice double p1; // pomocná premenná int r; // polomer r double pi=3.141592654; int poc_iter=12; // počet bodov kružnice p1=poc_iter; double alfa=(2*pi)/p1; // uhol otočenia // začiatočný bod double x1=mx-polx; double y1=my-poly; double x2,y2; for (int i=0;i < poc_iter;i++) { // otočenie bodu x1, y1 okolo stredu o uhol alfa x2=x1*Math.cos(alfa) - y1*Math.sin(alfa); y2=x1*Math.sin(alfa) + y1*Math.cos(alfa); // Nakresli úsečku z [x1,y1] do [x2,y2] go.drawLine(polx+(int)(x1),poly+(int)(y1),polx+(int)(x2),poly+(int)(y2)); x1=x2;y1=y2; }

$$$APPLET

Applet Kreslenie kružnice metódou transformácie otáčaním, zvoľ bod kružnice

    Pre urýchlenie je dobré predvypočítať si do tabuľky hodnotu sínus od 0 po 450 stupňov (pozn. 450=360+90) a cosínus(alfa) vyjadrovať ako sínus(alfa+90).

$$$APPLET

Applet Kreslenie kružnice, zvoľ bod kružnice

Rastrový rozklad elipsy

    Pri pohľade na kružnicu, zobrazenú na grafickom zariadení, ktoré má vzdialenosti medzi riadkami pixlov iné ako medzi stĺpcami, vidíme, že zobrazovaná kružnica na obrazovke vyzerá ako elipsa. Tento jav môžeme použiť pri konštrukcii elipsy.

    Konštrukcia osovej elipsy môžeme robiť pomocou Bresenhamovho algoritmu, podobne ako pri kružnici, pričom musíme vypočítať hodnoty v rozsahu jedného kvadrantu (elipsa je súmerná len podľa osí x a y).

$$$APPLET

Applet Elipsa so stredom v bode S[x,y] osami a a b

$$$APPLET

Ellipse select corner point for new ellipse. Author Marián Rojko

Source code