Vektor

Vektor budeme zobrazovať ako šípku, ktorá má konštantný smer a dĺžku a môže sa presúvať v danom systéme koordinátorov. Súradnice vektora u sú (u1,u2) v rovine a (u1,u2,u3) v priestore.


$$$APPLET

Applet Vektor AB

Vektor je obyčajne označovaný koordinátmi bodov v = (x1,y1), kde x1 je x-ový koeficient vektora a y1 je y -ový koeficient vektora. Tento vektor môžeme kresliť ako čiaru od bodu A so súradnicami (a0,a1) po bod B so súradnicami (b0,b1).

x-ový jednotkový vektor je i = (1, 0) a y-ový jednotkový vektor je i = (0, 1). Toto platí v prípade roviny, v priestore pridáme ešte z-ovú súradnicu. Jednotkové vektory potom budú (1, 0, 0), (0, 1, 0) a (0, 0, 1).

Sčítavanie a rozdiel vektorov

Vektory sa sčítavajú a odčítavajú po zložkách a ich výsledkom je tiež vektor.

Príklad :
sčítanie a odčítanie vektorov u = (u0, u1, u2) a v =(v0, v1, v2) :

w = u + v = (u0 + v0, u1 + v1, u2 + v2)
w = u - v = (u0 - v0, u1 - v1, u2 - v2)


$$$APPLET

Applet Sčítavanie vektorov u a v

Dĺžka vektora

Dĺžka vektora AB=(x,y,z) reprezentuje vektorovú absolútnu hodnotu a počítame ju nasledovne:

|AB| = sqrt(x2 + y2 + z2).

Je taká istá ako vzdialenosť medzi bodmi (x,y,z) a (0,0,0).

Jednotkový vektor (Unit vector)

Jednotkový vektor má dĺžku 1.0. Zoberme si guľu s polomerom 1. Jednotkový vektor je potom ľubovolný vektor z jej stredu do bodu na povrchu guli. Jednotkový vektor sa používa na reprezentáciu smeru bez určenia presnej vzdialenosti v tomto smere. Ľubovolný vektor upravíme na jednotkový tak, že vydelíme každý jeho koeficient (x,y a z) dĺžkou vektora len.

            [x]   [x/len]
  (1/len) * [y] = [y/len]
            [z]   [z/len]

Matice

Špeciálne zvolenú tabuľku z reálnych alebo komplexných čísel nazývame matica.


$$$APPLET

Applet Matrix

Číslo a(i,j) je prvok matice, ktorá obsahuje n stĺpcov a m riadkov, pre ktoré platí, že 1 ≤ im a 1 ≤ jn. Rozmerom matice je m x n, čo zapisujeme ako A(m x n). Prvý index i prvku matice a(i,j) ukazuje, v ktorom riadku sa prvok nachádza, podobne index j ukazuje na stĺpec matice.

    Pozrime sa teraz na maticu typu 1 x n. Túto maticu môžeme nazvať horizontálny alebo riadkový vektor. Značíme ju malými písmenami :

   a = | a(1) a(2) . . . a(n) |

    Maticu nazývame štvorcová, ak je počet riadkov a stĺpcov v matici rovnaký (napr. matica 3x3, 4x4).

    Matica je diagonálna, ak všetky prvky nad a pod diagonálou sú nulové. Diagonála je množina bodov matice s rovnakými indexmi v smere x a y.

                      | 1 0 0 |

Diagonálna matica A = | 0 1 0 | | 0 0 2 |

    Špeciálnym prípadom diagonálnej matice je jednotková matica (alebo identická matica), ktorej všetky prvky na diagonále sú rovné 1. Zvyčajne sa označuje symbolom  I.

                       | 1 0 0 0 |
                       | 0 1 0 0 |
Jednotková matica  I = | 0 0 1 0 |
                       | 0 0 0 1 |

    Maticu, ktorej všetky prvky sú nulové, nazývame nulová matica. Označujeme ju O.

    Matica B je inverzná k matica A ak platí : A x B = I, alebo B = A (-1)

Sčítanie matíc A a B

    Maticové sčítanie je definované pre matice rovnakého typu tak, že ku každéme prvku b(i,j) matice B je pripočítaný prvok a(i,j) matice A, pre 1 Łi Ł m a 1 Ł j Ł n.

Príklad : Sčítanie matíc 3x3.

     | 0 2 0 |      | 1 0 0 |        | 1 0 0 |
 A = | 7 5 1 |, B = | 2 1 0 |, A+B = | 9 6 1 |.
     | 2 4 5 |      | 3 4 1 |        | 5 8 6 |

Násobenie matice A skalárom

    Skalárom rozumieme jedno číslo z definičného oboru. Pri násobení vynásobíme každý prvok matice skalárom.

Príklad :

    | 1 2  3 |
A = | 0 1 -2 |, k = 3
    |-1 0  2 |

      | 1 2  3 |       | 3 6  9 |
A*k = | 0 1 -2 | * 3 = | 0 3 -6 |
      |-1 0  2 |       |-3 0  6 |

Homogénne súradnice

    Pre  zjednodušenie výpočtu transformácie sa používa reprezentácia bodov pomocou homogénnych súradníc.

    Usporiadanú štvoricu čísel [x, y, z, w] nazývame pravouhlé homogénne súradnice bodu P s karteziánskymi súradnicami [X, Y, Z] v trojrozmernom priestore, ak platí

                  x            y            z
          X = ---  , Y = ---  , Z = ---   , = R - {0}.


                 w           w          w

    Najčastejšie sa volí w = 1, pretože s jednotkou sa najľahšie počíta. V tom prípade sú homogénne súradnice bodu [X, Y, Z, 1].

    Maticou 4x4 reprezentujúcou lineárnu transformáciu bodu P = [x, z, y, w] na bod P' = [x',  y' , z' , w'] budeme označovať A.

 	| a11 a12 a13 0 |
     A = | a21 a22 a23 0 |
	| a31 a32 a33 0 |
	| a41 a42 a43 1 |

Hodnotu bodu P' z bodu P vypočítame nasledovne

				    | a11 a12 a13 0 |
 P' = [x' y' z' w'] = P*A = [x y z w] * | a21 a22 a23 0 |.
				    | a31 a32 a33 0 |
				    | a41 a42 a43 1 |

Pre  maticu 3x3 postupujeme podobne.