Vektor budeme zobrazovať ako šípku, ktorá má konštantný smer a dĺžku a môže sa presúvať v danom systéme koordinátorov. Súradnice vektora u sú (u1,u2) v rovine a (u1,u2,u3) v priestore.
Vektor je obyčajne označovaný koordinátmi bodov v = (x1,y1), kde x1 je x-ový koeficient vektora a y1 je y -ový koeficient vektora. Tento vektor môžeme kresliť ako čiaru od bodu A so súradnicami (a0,a1) po bod B so súradnicami (b0,b1).
x-ový jednotkový vektor je i = (1, 0) a y-ový jednotkový vektor je i = (0, 1). Toto platí v prípade roviny, v priestore pridáme ešte z-ovú súradnicu. Jednotkové vektory potom budú (1, 0, 0), (0, 1, 0) a (0, 0, 1).
Vektory sa sčítavajú a odčítavajú po zložkách a ich výsledkom je tiež vektor.
Príklad :
sčítanie a odčítanie vektorov u = (u0,
u1, u2) a
v =(v0,
v1, v2) :
w = u + v = (u0 + v0,
u1 + v1, u2 +
v2)
w = u - v = (u0 - v0,
u1 - v1, u2 -
v2)
Dĺžka vektora AB=(x,y,z) reprezentuje vektorovú absolútnu hodnotu a počítame ju nasledovne:
|AB| = sqrt(x2 + y2 + z2).
Je taká istá ako vzdialenosť medzi bodmi (x,y,z) a (0,0,0).
Jednotkový vektor má dĺžku 1.0. Zoberme si guľu s polomerom 1. Jednotkový vektor je potom ľubovolný vektor z jej stredu do bodu na povrchu guli. Jednotkový vektor sa používa na reprezentáciu smeru bez určenia presnej vzdialenosti v tomto smere. Ľubovolný vektor upravíme na jednotkový tak, že vydelíme každý jeho koeficient (x,y a z) dĺžkou vektora len.
[x] [x/len]
(1/len) * [y] = [y/len]
[z] [z/len]
Špeciálne zvolenú tabuľku z reálnych alebo komplexných čísel nazývame matica.
Číslo a(i,j) je prvok matice, ktorá obsahuje n stĺpcov a m riadkov, pre ktoré platí, že 1 ≤ i ≤ m a 1 ≤ j ≤ n. Rozmerom matice je m x n, čo zapisujeme ako A(m x n). Prvý index i prvku matice a(i,j) ukazuje, v ktorom riadku sa prvok nachádza, podobne index j ukazuje na stĺpec matice.
Pozrime sa teraz na maticu typu 1 x n. Túto maticu môžeme nazvať horizontálny alebo riadkový vektor. Značíme ju malými písmenami :
a = | a(1) a(2) . . . a(n) |
Maticu nazývame štvorcová, ak je počet riadkov a stĺpcov v matici rovnaký (napr. matica 3x3, 4x4).
Matica je diagonálna, ak všetky prvky nad a pod diagonálou sú nulové. Diagonála je množina bodov matice s rovnakými indexmi v smere x a y.
| 1 0 0 |
Diagonálna matica A = | 0 1 0 |
| 0 0 2 |
Špeciálnym prípadom diagonálnej matice je jednotková matica (alebo identická matica), ktorej všetky prvky na diagonále sú rovné 1. Zvyčajne sa označuje symbolom I.
| 1 0 0 0 |
| 0 1 0 0 |
Jednotková matica I = | 0 0 1 0 |
| 0 0 0 1 |
Maticu, ktorej všetky prvky sú nulové, nazývame nulová matica. Označujeme ju O.
Matica B je inverzná k matica A ak platí : A x B = I, alebo B = A (-1)
Maticové sčítanie je definované pre matice rovnakého typu tak, že ku každéme prvku b(i,j) matice B je pripočítaný prvok a(i,j) matice A, pre 1 Łi Ł m a 1 Ł j Ł n.
Príklad : Sčítanie matíc 3x3.
| 0 2 0 | | 1 0 0 | | 1 0 0 |
A = | 7 5 1 |, B = | 2 1 0 |, A+B = | 9 6 1 |.
| 2 4 5 | | 3 4 1 | | 5 8 6 |
Skalárom rozumieme jedno číslo z definičného oboru. Pri násobení vynásobíme každý prvok matice skalárom.
Príklad :
| 1 2 3 |
A = | 0 1 -2 |, k = 3
|-1 0 2 |
| 1 2 3 | | 3 6 9 |
A*k = | 0 1 -2 | * 3 = | 0 3 -6 |
|-1 0 2 | |-3 0 6 |
Pre zjednodušenie výpočtu transformácie sa používa reprezentácia bodov pomocou homogénnych súradníc.
Usporiadanú štvoricu čísel [x, y, z, w] nazývame pravouhlé homogénne súradnice bodu P s karteziánskymi súradnicami [X, Y, Z] v trojrozmernom priestore, ak platí
x y
z
X = --- , Y = --- , Z = ---
, w = R - {0}.
Najčastejšie sa volí w = 1, pretože s jednotkou sa najľahšie počíta. V tom prípade sú homogénne súradnice bodu [X, Y, Z, 1].
Maticou 4x4 reprezentujúcou lineárnu transformáciu bodu P = [x, z, y, w] na bod P' = [x', y' , z' , w'] budeme označovať A.
| a11 a12 a13 0 |
A = | a21 a22 a23 0 |
| a31 a32 a33 0 |
| a41 a42 a43 1 |
Hodnotu bodu P' z bodu P vypočítame nasledovne
| a11 a12 a13 0 | P' = [x' y' z' w'] = P*A = [x y z w] * | a21 a22 a23 0 |. | a31 a32 a33 0 | | a41 a42 a43 1 |
Pre maticu 3x3 postupujeme podobne.